虚数の虚数乗が実数になる・・・だと!?

Sometimes I think that I don't know that much - But math sucks!~

突然ですが、この式のことを知っていますか??

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映画、「博士が愛した数式」に出てくる「世界一美しい数式」です。

【オイラーの等式】と言います。
非常に綺麗ですね。

本当はこの数式の美しさについて小一時間くらい話したいところなのですが、今回はその話は置いておき、
【オイラーの等式】になる前の、【オイラーの公式】を用いて、虚数の虚数乗が実数になるお話をしたいと思います。

さて、お話の前に皆さん虚数って覚えてますか?
恐らく高校生で習う数だと思います。

超簡単に言うと2乗すると−1になる数のことです。
ちょっと忘れちゃったなという人はこちらを見て下さい。

それでは証明の始まり始まり〜〜♪

まずはじめに、オイラーの公式を書きます。
オイラーの公式の証明も気になる人はこちらを見て下さい。

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まず、このθにπ/2を代入してあげましょう♪
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ちなみにcos(π/2)=0 ,sin(π/2)=1なので上に書いてある式はこのようになります。
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さて、見やすいように左右を入れ替えて・・・
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ここから両辺をi乗しちゃいます。
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先程も言ったとおり、i × i = -1なので、上の式の右辺を少しいじってこのように書くことが出来ます。
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右辺にすこし難しそうな数が出てきましたが、これは見やすいように整えるとこのようになります。
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という等式が成り立ちます。
一応右辺は実数であるので証明は終了です。

虚数というのは2乗して-1になるという存在しない数なのですが、

存在しない数を存在しない数乗してあげると、存在する数になるという変な証明です。

・おまけ

上の結果を使って数学者はプロポーズの言葉にしたりするそうです。

上の、オイラーの公式の変形の話を女の子にして、一言。

「i(僕) の i 乗(愛情)は実数(本物)さ。」

・・・

・・・

・・・

うん。

ということで、数学に少しでも興味を持って頂けたら幸いです。

それでは♪

P.S
本当は主値やらなんやらあるらしいですが、難しそうなので説明やめときます(笑)
調べたい人はぐぐってね!

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